Mundo Matemático: ¿Hay una relación entre los sismos y logaritmos?

¿Alguna vez has experimentado un sismo? Es posible que sí, ya que ocurren todo el tiempo y suelen tener distintas magnitudes. Pero… ¿cómo se puede saber exactamente de qué magnitud? A través de la magnitud de momento, una escala de medición utilizada en la actualidad. ¡Presta mucha atención! que  Mundo Matemático te explicará de qué trata en esta nota. 

Magnitud de momento y logaritmos

La magnitud de momento (Mw) es una escala de medición que representa el tamaño del sismo. Asimismo, calcula una parte de la energía que se libera durante el sismo o momento sísmico (Mo).

En los cálculos que realiza el momento sísmico (Mo) toma en cuenta tres datos importantes: medida de resistencia a la deformación de las rocas del terreno, el desplazamiento que una placa tiene en promedio durante el sismo  y el área de la superficie de contacto de las placas que se mueven (falla). Esta área puede ser muy extensa, y logra medirse en kilómetros cuadrados (km2).

Para hallar la magnitud de momento dependemos del momento sísmico, el cual aparece en la fórmula que colocaremos a continuación. Cabe resaltar que su unidad de medida es en Newton metro (Nm). 

Seguro has notado que en la fórmula anterior aparece el símbolo del logaritmo. Esta es una operación que se desprende de la potenciación, un valor elevado a otro.

El exponente nos ayudará a hallar el logaritmo. En el siguiente gráfico el logaritmo en base “a” de la potencia “b” es igual a “n”.

Vamos a hacer unos ejemplos para que quede claro. Si el logaritmo en base 3 de la potencia 81 es igual a 4, porque 34 es igual a 81.

log3 81 = 4

Vamos a usar otro ejemplo pero sin base. Cuando no tiene base se asume que el logaritmo está en base 10, que es logaritmo decimal:

log 100 000

Si tenemos que:

log 100 000 = 5

Significa que: 

105 = 100 000

En base 10 el exponente indica el número de ceros.

Ahora que sabes cómo hallar el logaritmo, es momento de que apliques todo lo que hemos aprendido hasta ahora para desarrollar el siguiente ejercicio. ¡Comencemos!

¿Cuánta energía extra hay en un temblor de magnitud 5 respecto a un temblor de magnitud 4?

Apliquemos la fórmula que ya conocemos. Recuerda que tenemos dos magnitudes, entonces igualamos la fórmula a 5 y a 4, cuyos resultados se dividirán. 

Desarrollemos la fórmula cuando se da un sismo de magnitud 5:

Ahora, transformamos este resultado a la definición de logaritmo que aprendimos. El valor 16,55 sería el exponente, la base sería 10 y el momento sísmico (Mo) sería la potencia. 

1016,55 = Mo
 

Aplicamos la fórmula de la magnitud de momento cuando se da un sismo de magnitud 4:

También aplicamos la definición de logaritmo para este caso. El valor 15,05 sería el exponente. La base sería 10 y el momento sísmico (Mo) la potencia.

Aplicando la definición de logaritmos; 15, 05 sería el exponente, la base 10 y el momento sísmico (Mo) la potencia. Por lo tanto:

1015,05 = Mo

Comparamos los dos valores valores obtenidos:

La relación anterior se parece al postulado que indica que cuando se dividen dos expresiones de la misma base, sus exponentes se suman. Por lo tanto:

Si redondeamos el valor obtenido, tenemos como resultado el número 32. Este nos indica que la energía que se mide en un sismo de magnitud 5 es 32 veces la energía que se mide en un sismo de magnitud 4. 

Entonces… ¿el valor de un terremoto de magnitud 6 será 32 veces? Podrás encontrar la respuesta a esta incógnita en este episodio de Mundo Matemático ¡Presta mucha atención! Si te perdiste el episodio, puedes verlo en la cuenta de YouTube de Canal IPe.