Mundo Matemático: ¿Qué es la combinatoria?

Si eres hincha de la selección de fútbol es posible que en algún momento hayas pensado en cuántos puntos necesitan para clasificar al siguiente Mundial. Si todavía no la has hecho... es probable que en tu casa algún fanático del fútbol sí se la pase haciendo cuentas. Para que puedas aprender necesitas aplicar la combinatoria, la cual Mundo Matemático te enseñará a continuación.

Todo es cuestión de la combinatoria

Para clasificar a un mundial de fútbol los países sudamericanos deben disputar un torneo que tiene 18 fechas, en el que los primeros 4 clasifican directamente. Para lograr el cuarto puesto, el puntaje mínimo que debe tener un país es 28. Este se mide sumando los puntos de los partidos ganados y los partidos empatados.

Partidos ganados = 3

Partidos empatados = 1

Para calcular la probabilidad de que Perú pueda ganar o empatar los partidos para clasificar al siguiente mundial utilizaremos la combinatoria. La combinación consiste en seleccionar “n” objetos de un total de “k” objetos sin que se requiera un determinado orden.

También necesitamos saber el factorial de un número, el cual representa al producto de todos los números enteros desde el 1 hasta el mismo número:

k! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5….x

 k: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Para poder explicarles mejor calcularemos la probabilidad de que la selección peruana de fútbol gane 7 partidos y empate 6 para clasificar al mundial con 28 puntos.

Tomaremos en cuenta el desempeño que ha tenido la selección en los 19 partidos oficiales que ha jugado desde la Copa América 2016.

Calcularemos la probabilidad que nuestra selección gane 7 partidos de 18 jugados. Si la probabilidad de ganar es de 0,37, la probabilidad de no ganar sería de 0,63.

El resultado obtenido de esta operación es 26 928. Una vez hallado lo primero reemplazamos la ecuación

26 928 (0,37)⁷(0,63)¹¹ 

0,158 ≈ 0,16 

0,16 x 100% = 16%

De acuerdo a este resultado el Perú tiene el 16% de probabilidad de ganar 7 partidos de un total de 18. Dentro de este porcentaje calcularemos la probabilidad que Perú empate 6 partidos logre clasificar. De acuerdo a esto sería que de los 11 partidos restantes, empate 6.

La probabilidad de empatar es de 0,58 y la probabilidad de perderlo sería 0, 42. Recuerda que quedan 11 partidos y deseamos que empate 6: 

El resultado es 462, por lo que la probabilidad será:

462 (0,58)⁶(0,42)⁵

0,23 x 100% = 23%

Tomando los dos valores obtenidos tenemos que Perú tiene el 16% de probabilidad de ganar 7 partidos de los 18 de la clasificatoria y tiene el 23% de empatar los 6 restantes.

23% del 16% 

0,23 x 16% = 3,68% 

Ahora que hemos resuelto todas estas operaciones podemos notar que la probabilidad que tiene la selección peruana de ganar 7 partidos y la probabilidad que tienen de empatar 6 es 3,68 %. Con esas cifras en mente nos toca prepararnos para los próximos partidos. Con calma nuestra selección de fútbol nos dará otra alegría y llegaremos al mundial de Qatar en el 2022.

Si quieres calcular las probabilidades de las selecciones de otros países sigue aprendiendo con  Mundo Matemático de lunes a viernes a las 8:00 p. m. y los sábados y domingos a las 6:30 p. m. por la señal de Canal IPe.